recta numerica

RECTA NUMERICA

La recta numérica o recta real¹ es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los númeroscomo puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera¹ ordenados y separados con la misma distancia:

Recta numérica en la que se muestran los números enteros entre -9 y 9, se sobrentiende que la recta incluye todos los números reales ilimitadamente en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en violeta.

Topologías sobre la recta real[editar]

Sobre la recta real se pueden definir diferentes topologías bajo las cuales la recta real tiene propiedades topológicas y geométricas, diferentes de la topología métrica usual.

Topología usual[editar]

Punto interior

Sea H un subconjunto de ℝ. Un punto y₀ de H se denomina un punto interior de H, si existe r real positivo tal que <y₀ - r, y_º +r > ⊂ A. Al conjunto de los puntos interiores de H se nombra interior de H, se denota por int(a). Si el punto y₀ está en el interior de A, se dirá que A es entorno de dicho punto.²

Ejemplo: Si H = {1}∪[3,5] ∪[6, 8> . Los puntos 1, 3, 5 y 6 no son puntos interiores de H. Mientras int(H) = <3,5>∪<6, 8>.

Tener presente que si H es parte de J entonces el interior de H es parte de del interior de J. También que el interior de H es parte de H.²

Conjunto abierto

Un subconjunto K de ℝ se llama abierto, si todo punto de K es punto interior de K. Esto es, K ⊂ Int(K).

Es obvio que ℝ y ∅ son conjunto abiertos.

Cualquier intervalo abierto <m, n>⊂ℝ es un subconjunto abierto de ℝ

La intersección de <-1, 1/n> con <-1/n, 1> es un subconjunto abierto de ℝ, para cualquier n entero positivo

<2, 8> - [4, 6] es un subconjunto abierto de ℝ.

Para cualquier conjunto de números reales su interior es un conjunto abierto.²

Propiedades topológicas[editar]

1. La unión de una familia de abiertos de ℝ es un abierto.
2. La intersección de dos abiertos de ℝ es un abierto de ℝ( considerando el conjunto vacío como abierto ).
3. La intersección arbitraria de infinitos abiertos no tiene por que ser un abierto.
4. Los intervalos <m, +∞> <-∞, p> son conjuntos abiertos; para el caso, el primero es la unión de los abiertos <m, m +n>, n recorre todo ℤ₊.²

Punto adherente

Dados el subconjunto M de números reales y el punto real y₀, diremos que este punto es adherente a M si la intersección de M con cualquier intervalo simétrico que contiene a y₀ es no vacía. Al conjunto de puntos adhrentes a M se llamaadherencia (clausura) de M y se denota adh(M) o Cl(M)^3 4